REGLA DE TRES

REGLA DE TRES: Se aplica a problemas en los que se conocen tres magnitudes, dos de ellas de la misma especie y se intenta obtener una cuarta magnitud cuya especie es de la misma que la de la tercera cantidad.
Es una de las aplicaciones de proporcionalidad más antiguas, que resulta de comparar dos o más magnitudes. 

Se clasifica en en: 

A. Simple: Compara cuatro cantidades. Puede ser simple directa o simple inversa. 

B. Compuesta: Compara más de cuatro cantidades.  Puede ser compuesta directa o compuesta inversa. 


1. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: 

Considera magnitudes directamente proporcionales.
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una la otra lo hace en la misma proporción, y al decrecer la primera la segunda también decrece en la misma proporción. 

Se comparan cuatro magnitudes donde se conocen tres de ellas y a la cuarta se le llama incógnita, que se representa con una "X". Su esquema es: 

 Primera              Segunda 
Magnitud            Magnitud

   a   --------   c
   b   --------   x

Donde:   

EJEMPLO 1.

Por 5 bultos de cemento de 50 Kg. se pagaron $ 127.500. ¿Cuánto se pagará por 18 bolsas iguales?

EJEMPLO 2.

Si con $100.000 compro 4 libros, ¿Cuántos libros compraré con 250.000?

Ejemplo 3. 

En una panadería se usan 10 kg de harina para hacer 100  panes, 
¿ Cuánta harina se necesita para preparar 520 panes?

Taller 1. Regla de tres simple directa. 

Lee y entiende bien cada situación planteada y selecciona la respuesta correcta. 

A. Si 3 kilos de naranjas cuestan $4.000.  ¿Cuántos kilos de naranjas se pueden comprar con 32.000 $?

a. 12      b. 18      c. 24

B. Una moto recorre 30 km en un 45 minutos. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 2 horas?

a. 120km         b. 240 km         c. 200 km

C. Un trabajador gana por cada dos días $52.000 , ¿Cuánto ganará en un mes?

a. $780.000          b. $680.000          c. $980.000

D. Con 40 horas semanales de trabajo, un trabajador ganó $160.000. ¿cuánto ganará si la semana siguiente puede trabajar 50 horas?

a. $150.000          b. $ 200.000       c. $300.000

E. Un automóvil gasta 12 litros de gasolina para recorrer 35 km. ¿Qué cantidad de gasolina gasta para recorrer 700 km?

a. 30 litros       b. 50 litros      c. 240 litros

F. Un obrero pinta una pared de 60 Mts²  en 4 horas. ¿Cuántas horas tardará en pintar, en las mismas condiciones una pared de 180 Mts² ?

a. 12 horas       b. 15 horas       c. 18 horas 

G. Si una docena son 12 unidades. ¿Cúantas unidades son 7 docenas?

a. 120 unidades     b. 70 unidades       c. 84 unidades 

H. Cuatro vasos de jugo de piña valen $1.700. ¿Cuánto valen 9 vasos?

a. $3.820       b. $3.825      c. $3.725  

I. Para el lanzamiento de un periódico estudiantil, se obsequian 2 por cada 9 periódicos que compren los estudiantes. Si vendieron 135 periódicos, ¿Cuántos entregaron gratuitamente?

a. 35       b. 24       c. 30

J. Un automóvil recorre 240 Km en 3 horas. ¿Cuántos km habrá recorrido en 2 horas?

a. 145 km         b. 160 km        c. 165 km 

1. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA: 

La aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:

A más  menos.

A menos  más.

Dos valores son inversamente proporcionales cuando:

• Al aumentar un valor, el otro disminuye en la misma proporción
• Al disminuir un valor, el otro aumenta en la misma proporción

EJEMPLO 1.

Si para construir una obra en 36 días se necesitan 15 operarios, ¿cuántos operarios serán necesarios para realizar la misma obra en 27 días?

Días                Operarios

  36     ----------------     15 

  27     ----------------      X

EJEMPLO 2. 

Ayer 2 camiones transportaron una mercancía desde el puerto hasta el almacén. Hoy 3 camiones, iguales a los de ayer, tendrán que hacer 6 viajes para transportar la misma cantidad de mercancía del almacén al centro comercial. ¿Cuántos viajes tuvieron que hacer ayer los camiones?

Los camiones tuvieron que hacer 9 viajes el día de ayer. 

EJEMPLO 3. 

10 obreros tardan 2 meses en construir una casa. ¿Cuántos días tardarían 15 obreros?

EJEMPLO 4.

1 grifo con un determinado caudal  tarda 30 minutos en llenar un depósito. ¿Cuántos minutos tardaría en llenarse el depósito con 3 grifos con el mismo caudal?

EJEMPLO 5.

12 personas pueden hacer una obra en 5 días. ¿Cuántas personas habrá que agregar para hacer la obra en 3 días?

TALLER : REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Lee y entiende bien cada situación planteada y selecciona la respuesta correcta. 

1. En una granja, 20 patos tardan 10 días en comer el alimento que hay guardado.

¿Cuánto tiempo tardarán 40 patos en terminar el alimento?

A. 5 días         B. 8 días             C. 7 días 

2. 3 pintores tardan 12 días en pintar una casa.
¿Cuánto tardarán 9 pintores en hacer el mismo trabajo?

                    A. 9 días         B. 5 días             C. 4 días 

3. 5 Obreros hacen una pared
en 15 días. ¿Cuánto tardarán 3 obreros en hacer la misma pared? 

                   A. 20 días         B. 25 días             C. 40 días 

4.  4 albañiles tardan en arreglar un tejado 18 días. Si se quiere acabar el tejado en 12 días, ¿Cuántos albañiles se deben contratar?

           A. 6 albañiles         B. 9 albañiles              C. 10 albañiles   

5. Un camión que carga 3.000 kg, hace 15 viajes para transportar una carga. ¿Cuántos viajes hará otro camión que carga 4,5 toneladas en transportar la misma carga? 


            A. 12 viajes         B. 10 viajes              C. 8 viajes  


6.   Con un depósito de agua pueden beber 30 caballos durante 8 días. Si se venden 6 caballos, ¿cuántos días durará el agua?


            A. 11 días         B. 12 días              C. 10 días

7.   3 Amigos ponen $7.500 cada uno para hacer un regalo. Si dos amigos más quieren participar en el regalo, ¿cuánto debe poner cada uno?

            A. $4.200         B. $4.500              C. $4.800

8.  6 máquinas excavadoras hacen una zanja en 18 días, si se averían 2 excavadoras, ¿Cuánto tardarán en abrir la zanja?

             A. 24 días         B. 29 días             C. 27 días 

9.  Un coche que va a 72 Km/h, tarda 3h y 15 minutos en hacer un recorrido.¿Cuánto tardará otro coche en hacer el mismo recorrido si va a 90 km/h? 

                  A. 2 h y 36 minutos    B. 2 h y 30 minutos      C.  2 h y 15 minutos

10.  Un depósito lleno de agua tarda 24 minutos en vaciarse abriendo 5 desagües. Si queremos que se vacíe en 15 minutos ¿Cuántos desagües hay que abrir? 

                A. 14         B. 8             C. 10

REGLA DE TRES COMPUESTA 

La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.

Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente.

Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, se pueden distinguir tres casos de regla de tres compuesta:

CASO 1. REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA 

Es aquella en la que las magnitudes tienen una relación directamente proporcional con la magnitud de la que desconocemos uno de sus valores.

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la otra o cuando al disminuir una, disminuye la otra.

Cómo resolver una regla de tres compuesta directa

Para resolver la regla de tres compuesta directa, colocamos en la primera columna de la regla de tres los valores de una de las dos magnitudes que conozcamos todas sus valores, por ejemplo de la magnitud A, en la segunda columna, los valores de la otra magnitud que conocemos, por ejemplo de la magnitud B y en la última columna, el valor que conocemos de C y el valor que no conocemos de C al que llamaremos x:

En las dos primeras columnas da igual si colocamos A o B en cualquiera de ellas. Lo que sí es obligatorio es colocar la magnitud sobre la que desconocemos uno de sus valores en la última columna.

Ahora multiplicamos en línea los valores de las magnitudes que si conocemos y dejamos el resultado en una sola columna, quedando:

Tenemos ahora una regla de tres simple directa, donde x será igual a la fracción cuyo numerador estará formado por la multiplicación de las cantidades que están en la diagonal opuesta a la x y cuyo denominador la formará la cantidad que está en al misma diagonal que la x:

Ejemplo 1. 

Para una manualidad, hemos llenado de arena 3 botellas de plástico de 1,5 litros y entre todas pesan 7 kg. ¿Cuánto pesarán 4 botellas de 2 litros?

Ejemplo 2. 

Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días.

9 grifos   10 horas  20 €

15 grifos  12 horas  x 

Ejemplo 3. 

Cuatro agricultores recolectan 10 000 Kg de cerezas en 9 días. ¿Cuántos Kilos recolectarán seis agricultores en 15 días?

Ejemplo 3. 

Si en tres autobuses se transportan 45 personas con un costo de $135.000, ¿Con qué costo se transportarán 72 personas en 4 autobuses?

Ejemplo 4. 

Una estufa de 4 quemadores ha consumido $ 2.500 de gas al estar encendidos 2 de ellos durante 3 horas. ¿Cuál es el precio del gas consumido si se encienden los 4 quemadores durante 4 horas?

Ejemplo 5 . 

En un recorrido de 120 kilómetros, 4 autos llevan a 16 personas en 90 minutos. ¿Cuántos autos se necesitan para transportar a 58 personas en 120 minutos?

TALLER : REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA 

1. 6 elefantes consumen 345 kilos de heno en una semana, ¿Cuál es el consumo de 8 elefantes en 10 días?

A. 657,15 Kg        B. 657, 12 kg          C. 657, 14 kg

2. 15 obreros trabajando 8 horas diarias construyen 6 casas ¿Cuántas casas se construirán con 23 obreros trabajando 10 horas diarias?

A. 11,5 casas          B. 12 casas        C. 11 casas

3. 5 personas lavan 8 automóviles en 4 horas, ¿Cuántos automóviles lavarán 10 personas en 6 horas?

A. 23 autos         B. 24 autos          C. 26 autos

4. Si 7 mineros en 21 días cavan 49 metros, ¿cuántos metros cavarán 14 mineros en 35 días?

A. 163,33 mts          B. 160 mts       C. 162,21 mts 

5. 8 caballos en 4 días consumen 30 kg de alimento. ¿Cuántos días podrán alimentarse a 8 caballos con 60 kg?

A. 17 días            B. 15 días       C. 8 días 

6. En 9 días cuatro obreros, trabajando 5 horas cada día, han ganado un total de $1.2000.000. ¿Cuánto ganarán diez obreros, en 10 días, trabajando 6 horas cada día?

A. $3.000.000           B. $4.000.000       C. $3.500.000

7. 4 tractores pueden remover 800 m³ de tierra en 6 horas. ¿Cuánto demorarán 6 tractores en remover 1200 m³ de tierra?

A. 13.5 horas           B. 12 horas    C. 14 horas 

8. 4 personas pueden vivir en un hotel durante 9 días por $650.000. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante 12 días?

A. $3.230.000          B. $3.450.000    C. $3.250.000

9. 8 válvulas abiertas por 10 horas diarias han arrojado una cantidad de agua, con un valor de 400 pesos. Se requiere conocer el precio del vertido de 16 válvulas abiertas 12 horas durante los mismos días.

A. $800         B. $960    C. $1.000

10. 10 vendedores tienen ventas promedio de 400 artículos, con valor final de $30,000 semanales. Se requiere estimar el valor de la venta para 35 vendedores con ventas promedio de 1500 artículos.

A. $393.750        B. $385.750    C. $392.750

Regla de tres compuesta inversa

La regla de tres compuesta inversa es aquella en la que las magnitudes tienen una relación inversamente proporcional con la magnitud de la que desconocemos uno de sus valores.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra o cuando al disminuir una, aumenta la otra.

Por ejemplo, si tenemos 3 magnitudes implicadas A, B y C, donde desconocemos uno de los valores de la magnitud C, para que la regla de tres compuesta sea inversa A y C deben ser inversamente proporcionales y por otro lado, B y C también deben ser inversamente proporcionales.

Cómo resolver una regla de tres compuesta inversa

Para resolver la regla de tres compuesta inversa, colocamos en la primera columna los valores de una de las dos magnitudes que conozcamos todas sus valores, por ejemplo de la magnitud A, en la segunda columna, los valores de la otra magnitud que conocemos, por ejemplo de la magnitud B y en la última columna, el valor que conocemos de C y el valor que no conocemos de C al que llamaremos x:

Al igual que pasaba con la regla de tres compuesta directa, en las dos primeras columnas da igual si colocamos la magnitud A o la magnitud B en cualquiera de ellas. Lo que sí es obligatorio es colocar la magnitud de la que desconocemos uno de sus valores en la última columna.

Ahora invertimos el orden a los valores de las magnitudes, es decir, los valores que están abajo los ponemos arriba y viceversa: A2 lo ponemos arriba y A1 abajo y con B2 y B1 hacemos lo mismo. La regla de tres queda de la siguiente forma:

Ahora multiplicamos en línea los valores de las magnitudes que si conocemos, tal y como los tenemos ahora y dejamos el resultado en una sola columna, quedando:

Calculamos x igual que siempre, que será igual a la fracción cuyo numerador estará formado por la multiplicación de las cantidades que están en la diagonal opuesta a la x y cuyo denominador la formará la cantidad que está en al misma diagonal que la x:

La diferencia de la regla de tres compuesta inversa con la regla de tres compuesta directa es que en la primera hemos invertido el orden de los valores de las magnitudes.

Ejemplo 1.

3 pintores tardan 15 días en pintar una nave industrial, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 5 pintores trabajando 7 horas diarias?

Ejemplo 2.

Cinco trabajadores tardan 16 días en construir una pequeña caseta de trabajando 6 horas diarias. ¿Cuántos trabajadores serán necesarios para construir dicha caseta en 10 días si trabajan 8 horas diarias?

Ejemplo 3.

Una colonia de 55 bacterias consume 2 gramos de carne en 20 minutos. ¿Cuánto tardarán 87 bacterias en consumir 3 gramos de carne?

Ejemplo 4.

Dos bombas de agua trabajando 3 horas diarias llenan un tanque en 2 días. ¿En cuánto tiempo se llenará con 3 bombas trabajando 2 horas diarias?

Ejemplo 5.

5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias ?

Ejemplo 6.

9 empleados trabajando 8 horas diarias pintan un edificio en 12 días. ¿Cúantos días demorarán 18 empleados en pintar el mismo edificio trabajando 6 horas diarias?

TALLER : REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA

1)    Para realizar una obra 40 obreros, trabajando 6 horas diarias, han necesitado 100 días. ¿Cuántos obreros, trabajando sólo 4 horas diarias se necesitarían para terminar la misma obra en 120 días?

A. 50         B. 45         C. 50

2) Cuatro obreros trabajando siete horas diarias construyen un muro en tres días. ¿Cuántos días tardarán dos obreros trabajando seis horas diarias en construir un muro igual?

A. 9       B. 7        C. 5

3) 5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

A.2,10      B. 2,12     C.2,14

4) Para programar un videojuego se disponen de 15 programadores, que trabajando 8 horas diarias, tardarían 60 días. Para conseguir acabarlo en 30 días, se han contratado 5 programadores más. ¿Cuántas horas diarias deben trabajar?

A. 15       B.12        C.13

5) 4 Obreros trabajan 5 horas diarias construyendo un edificio en 2 días. Se necesita saber cuánto tardarán 3 obreros trabajando 6 horas diarias para construir un edificio idéntico.

A. 2,22 días           B. 3,22 días        C. 4 días

6) Si tres obreros, trabajando 5 horas diarias construyen un puente en 4 días, ¿Cuántos días tardarán 2 obreros trabajando 6 horas diarias?

A. 5 días        B. 6 días        C. 7 días 

7)50 peones siembran un terreno en 6 días trabajando 6 horas diarias. ¿Cuántos días necesitan 40 peones trabajando 4 horas diarias?

A.  11,20días       B.  11 días      C.  11,25días

8) Para construir una casa en 6 meses (183 días), un arquitecto estimó que serían necesarios 16 obreros trabajando 10 horas al día. Sin embargo, limitado por el presupuesto, se decidió por contratar solamente a 8 obreros trabajando 6 horas diarias.

¿Cuánto tiempo durará la construcción?

A. 610 días   B. 605 días      C. 615 días

9) Un equipo de 8 programadores trabajará 6 horas diarias para desarrollar un software en un año. Si se forma un equipo de 10 programadores trabajando 4 horas diarias, ¿cuántos años se necesitan para realizar un proyecto de la misma envergadura?

A. 1,3 años       B. 1,5 años         C. 1,2 años 

10) Un campamento de la Cruz Roja que alimenta a 1800 refugiados tiene víveres para tres meses si se distribuyen raciones de 800 gr., por día. ¿Cuál debería ser la ración si hubiese 2100 refugiados y estos víveres tuvieran que durar 130 días?

A. 470 días          B. 474,70 días        C. 474,72 días 

Regla de tres compuesta mixta

La regla de tres compuesta mixta es aquella donde magnitudes implicadas tienen una relación directamente proporcional e inversamente proporcional con la magnitud de la que desconocemos uno de sus valores.

Por ejemplo, si tenemos 3 magnitudes implicadas A, B y C, donde desconocemos uno de los valores de la magnitud C, para que la regla de tres compuesta sea mixta, por ejemplo A y C deben ser inversamente proporcionales y por otro lado, B y C deben ser directamente proporcionales. (Puede ser también al contrario).

Ejemplo 1. 

Para cortar el césped de una parcela de 1500 m², se necesitan 5 jardineros trabajando durante 1 hora. ¿Cuánto tardarán 4 jardineros en cortar el césped de otra parcela de 3000 m²?

Ejemplo 2.  

Se sabe que 6 mangueras abiertas durante 3 horas equivalen a 10.000 litros. ¿Cuánto tiempo se necesita para llenar una piscina de 130.000 litros con 4 de estas mangueras?

Ejemplo 3.   

El estadio Azteca de la Ciudad de México tiene una superficie de 7.140 metros cuadrados. Para cortar su césped se emplean 3 máquinas cortacésped funcionando durante 5 horas. ¿Cuánto tiempo se requiere para cortar el césped de un estadio cuya superficie sea la mitad si se emplean 7 máquinas? 

Ejemplo 4.   

Cuatro empleadas de una tienda de moda tardan 8 días en coser 6 vestidos. Calcular cuánto tiempo se necesita para coser 24 vestidos si se duplican las empleadas. 

Ejemplo 5. 

Un buque de carga realiza un transporte en 24 días con tan solo 3 motores encendidos con un consumo total de 2.000 Lts de combustible . Si se encienden sus 6 motores para realizar un transporte con un consumo total de 3.000 Lts , ¿cuánto dura el transporte?

TALLER : REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA

1) Una empresa cuenta con un equipo de 3 técnicos que pueden reparar los 6 elevadores del edificio en tan solo 180 minutos en caso de avería. Si se necesita reparar 5 elevadores, pero uno de los técnicos no podrá asistir, ¿cuánto tiempo tardarán en repararlos?

A. 200 minutos       B. 210 minutos       C. 220 minutos       D. 225 minutos 

2) Alberto y Gabriel son dueños de reconocidas pizzerías. En la de Gabriel se cocinan 4 pizzas en 3 hornos en 30 minutos. Si Alberto dispone de 4 hornos, ¿cuanto tardará en cocinar 6 pizzas suponiendo que ambos manejan el mismo tipo de horno?

A. 34 minutos       B. 33,75 minutos       C. 34 minutos       D. 34,75 minutos 

3) 7 trabajadores cavan zanjas durante 5 horas al día, y en 7 días cavan 35 metros de zanjas. ¿Cuántos días tardarán 9 trabajadores que cavarán durante 4 horas al día, para cavar 65 metros de zanjas?

A. 12 día         B. 12,5 días             C. 12,63 días         D. 13, 5 días

4. Si queremos hacer un trayecto de 360 km andando durante 5 horas al día durante 12 días, ¿cuántos días necesitaré para recorrer 216 km andando 4 horas diarias?

A. 8 días         B. 9 días         C. 10 días          D. 11 días 

5. Si para hacer un recorrido de 150 km andamos durante 6 horas día y 7 días, ¿cuántos días necesitaré para recorrer 200 km andando 7 horas al día?

A. 6 días        B. 7días       C. 8 días        D. 9 días 

6.  Con 5 botes de mermelada cada uno de 200 gramos se han realizado 50 tartas de fresa. Calcular cuántos botes de 500 gramos de mermeladas necesito para realizar 100 tartas.

A. 5 botes       B. 8 botes       C. 6 botes       D. 4 botes 

7. si 3 obreros colocan 100 metros cuadrados de suelo en 2 días, ¿Cuántos días tardarán 4 obreros en colocar 1000 metros cuadrados?

A. 15 días    B. 12 días     C. 14 días        D. 13 días 

8. Un taller de confección ha fabricado 1.600 chaquetas, trabajando 8 horas diarias durante 10 días, ¿Cuánto tiempo tardará en servir un pedido de 2.000 chaquetas trabajando 10 horas al día?

A. 11 días        B. 10 días       C. 13 días         D. 14 días

9. Para construir una pared de 12 mts de largo y 5 mts de altura, se necesitan 400 ladrillos. ¿Qué altura tendrá la pared si tuviera 4 mts de largo y si se contara con 200 ladrillos?

A. 6,5 metros        B. 7 metros        C. 7,5 metros        D. metros 

10. El dueño de una carpintería ha calculado que para terminar 48 sillas, 5 carpinteros tardan 6 días. Si dos carpinteros no pueden trabajar, ¿Cuántos días tardarían para hacer 72 sillas?

A. 15 días        B. 16 días        C. 17 días         D. 18 días